Définition de ln(a) pour a > 0

Propriété

Soit `a`  un réel strictement positif.
L'équation `\text{e}^x=a`   admet  une unique solution sur \(\mathbb{R}\) .

Démonstration

Soit `a`  un réel strictement positif.

• La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur `\mathbb{R}` .
  
• \(\lim\limits_{x \to -\infty}\text{e}^x=0\)  et \(\lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^x=+\infty\)  donc \(a \in ]\lim\limits_{x \to -\infty}\text{e}^x\ ;\lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^x[\) .
  

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation `\text{e}^x=a`  possède une unique solution sur \(\mathbb{R}\) .

Définition

Soit `a`  un réel strictement positif.
L'unique solution de l'équation  `\text{e}^x=a` est appelée logarithme népérien de \(\boldsymbol{a}\)  et est notée \(\boldsymbol{\ln(a)}\) .

Exemples

• \(\ln(1)\)  est la solution de l'équation \(\text{e}^x=1\)  et `\text{e}^0=1`  donc \(\boxed{\boldsymbol{\ln(1)=0}}\) .
  
• \(\ln(\text{e})\)  est la solution de l'équation \(\text{e}^x=\text{e}\)  et `\text{e}^1=\text{e}`  donc \(\boxed{\boldsymbol{\ln(\boldsymbol{\text{e}})=1}}\) .
  
• L'équation  \(\text{e}^x=3\)  admet une unique solution sur \(\mathbb{R}\) . Cette solution est notée \(\ln(3)\) .
  La calculatrice donne une valeur approchée de \(\ln(3)\) .
  \(\ln(3)\approx 1{,}099\) .
  

Remarque

La fonction exponentielle étant strictement positive sur \(\mathbb{R}\) , l'équation \(\text{e}^x=a\)  n'admet pas de solution réelle pour \(a\leqslant 0\) .